偏偏：概率直觉实验室

答案：B · 等于 50%

硬币不会记住过去，也不会为了平衡而补偿。独立意味着过去的结果不改变下一次的概率；大数定律说的是长期比例，不是下一次的纠偏。

知识点：独立性

答案：A · 一样可能

每个指定的六次序列概率都是 (1/2)⁶ = 1/64。我们觉得交错更自然，是把某一个序列和一整类“看起来杂乱”的序列混在了一起。

知识点：序列概率

答案：C · 仍然是 1/6

各次投掷独立，骰子没有等待补偿的机制。连续没出现六点是过去的事实，不是下一次更容易出现六点的证据。

知识点：赌徒谬误

答案：B · 不会，约 24.6%

恰好五次正面有 252 种序列，总共有 1,024 种等可能序列，概率约 24.6%。公平不等于每一小段结果都对半分。

知识点：二项分布

答案：A · 抛 10 次

抛 10 次恰好对半约 24.6%，抛 100 次约 8.0%。更多次数让比例集中在 50% 附近，却不保证正好落在 50% 这一个值上。

知识点：集中与精确

答案：C · 次数多时比例通常更接近一半，但次数差可能更大

比例的典型波动随 1/√n 缩小，次数差的典型量级却随 √n 增长。要分清绝对差距和相对差距。

知识点：大数定律

答案：B · 不足以认定

指定的五局全赢概率是 1/32，约 3.1%，并不是不可能。如果观察了许多玩家，出现一位连胜者就更加常见。

知识点：偶然与证据

答案：A · 超过，约 69.8%

没有重复的概率是 1 × 9/10 × 8/10 × 7/10 × 6/10 = 30.24%。至少重复一次就是它的补集，约 69.76%。

知识点：补集

答案：C · 不能，仅凭局部聚集不够

随机均匀说的是每个位置被选中的机会相同，不是结果必须整齐铺开。随机过程本来就会产生局部聚集和空白。

知识点：随机图形

答案：B · 2/3

公平硬币贡献 1/2 × 1/2 = 1/4 的正面概率，双面硬币贡献 1/2。已观察到正面，双面硬币的后验概率为 (1/2)/(3/4) = 2/3。

知识点：贝叶斯更新

答案：A · 70%

先算所有人生日不同：1 × 364/365 × … × 336/365。用 1 减去它得到约 70.6%。30 人有 435 对，碰撞机会远多于直觉。

知识点：生日问题

答案：C · 7.6%

概率是 1 − (364/365)²⁹，约 7.6%。任意两人同生日有很多配对；和指定的你同生日只有 29 次机会。

知识点：指定与任意

答案：B · 会，约 99.4%

生日问题的碰撞机会随配对数快速增加。60 人有 1,770 对，用无碰撞概率的补集计算，至少一次碰撞约为 99.4%。

知识点：碰撞增长

答案：A · 39%

虽然有一万个号码，但一百个验证码有 4,950 对。近似碰撞概率为 1 − exp(−4950/10000)，约 39%；精确值也接近这个结果。

知识点：生日碰撞

答案：C · 从 45 对变成 190 对

n 人有 n(n−1)/2 对。人数翻倍时，配对数大约变成四倍，而不是两倍。

知识点：组合计数

答案：B · 6 次

成功概率 p 的几何分布，等待次数的期望为 1/p，所以是 6 次。平均六次并不表示第六次会保证出现。

知识点：几何分布

答案：A · 66.5%

六次都不是六点的概率是 (5/6)⁶。至少一次六点的概率是 1 − (5/6)⁶ ≈ 66.5%。

知识点：至少一次

答案：C · 14.7 盒

等待下一种新玩具的平均次数依次为 1、6/5、6/4、6/3、6/2、6。相加得到 14.7；越接近集齐，新款越难出现。

知识点：集券问题

答案：B · 6 盒

每盒抽到最后一款的概率仍然是 1/6，等待次数期望为 6。过去抽到了哪些款，不会改变独立的新一盒。

知识点：等待时间

答案：A · 63.4%

一百张都没中概率为 0.99¹⁰⁰，约 36.6%，所以至少中一次约 63.4%。不能把概率直接相加来计算“至少一次”。

知识点：补集

答案：C · 15.4%

想象一万封邮件：100 封垃圾邮件中标记了 90 封，9,900 封正常邮件中误报了 495 封。答案是 90/(90+495)，约 15.4%。

知识点：基础发生率

答案：B · 94.7%

在一万封邮件中，会标记 4,500 封垃圾邮件和 250 封正常邮件。4,500/4,750 ≈ 94.7%。后验概率也取决于事件本来的常见程度。

知识点：先验与后验

答案：A · 0.11%

一万封邮件中有 10 封垃圾邮件漏报，9,405 封正常邮件未报警。10/(10+9405) ≈ 0.106%，很小但不为零。

知识点：漏报与后验

答案：C · 没有，它只是重复同一结果

两次结果完全依赖，不是两次独立测量。只有合理处理证据间的依赖关系，才能进行有效的概率更新。

知识点：证据依赖

答案：B · A 厂，约 64.3%

A 厂贡献 0.9×0.01=0.009 的次品概率，B 厂贡献 0.1×0.05=0.005。A 的比例是 9/14，约 64.3%；生产规模不能忽略。

知识点：贝叶斯推断

答案：A · 2/3

初选正确概率 1/3，换门会输；初选错误概率 2/3，主持人排除羊门后换门会赢。主持人的规则是这道题的关键。

知识点：蒙提霍尔

答案：C · 1/2

初选正确且主持人开出羊的概率是 1/3，初选错误且开出羊的概率是 (2/3)×(1/2)=1/3。条件化之后，两种情况各占一半。

知识点：信息机制

答案：B · 1/2

抽走一颗红球后剩下两红两蓝，下一次红球概率为 2/4。无放回抽样使两次结果相互依赖。

知识点：无放回抽样

答案：A · 1/3

共有 10 种等可能的两球组合，只有 1 种是两蓝，符合条件的有 9 种。两红有 3 种，所以是 3/9。

知识点：条件样本空间

答案：C · 90%

两个袋被选中的先验相同，抽红球概率分别为 0.9 与 0.1。后验为 0.9/(0.9+0.1)=90%。

知识点：更新信念

答案：B · 赚 10 元

期望奖金是 0.01×2000=20 元，减去每次必须支付的 10 元，期望净收益为 10 元。期望不是最常发生的结果。

知识点：期望值

答案：A · 90.4%

只要中一次就赚钱，所以亏钱恰好是十次全不中：0.99¹⁰≈90.4%。少数人的大奖可以把平均收益拉正。

知识点：期望与胜率

答案：C · B 为 60 元，但不代表每个人都应选 B

B 的期望为 60 元，比 A 高 10 元。实际选择还取决于风险承受能力和对确定收入的需求。

知识点：风险偏好

答案：B · 平均数正确，但不代表多数人的体验

总额除以人数确实是一万元，但中位数是零。平均数可以被少量极端值拉高。

知识点：均值与典型

答案：A · 期望支出更高，但消除了这笔大额损失风险

不买的期望损失为 1,000 元，买的确定支出为 1,500 元。多付 500 元换取风险转移，是否值得与个人承受损失的能力有关。

知识点：风险转移

答案：C · 89.6%

允许零次或一次失败：0.8³ + 3×0.2×0.8² = 0.896。不复活时是 0.8³=51.2%。这里的复活规则是跳过失败关。

知识点：二项概率

答案：B · 两者都是 10 元

A 的期望是 2×0.5×10=10；B 是 0.25×40=10。相同期望可以对应完全不同的获奖概率和波动。

知识点：期望线性

答案：A · 期望相同，B 的波动更大

B 的期望是 (30−10)/2=10 元，但它可能亏损。均值只描述分布的一个方面，不能取代风险信息。

知识点：方差

答案：C · 75 元

100×1.5×0.5=75。涨跌的基数不同，百分比变化是相乘，不是简单相加。

知识点：复合增长

答案：B · 不能，连输会耗尽本金

每次连续亏损都会迅速增加下一注需要的资金。有限本金无法承担任意长的连输；常见的小赢伴随小概率的大亏。

知识点：破产风险

答案：A · 每天 10 人的小医院

小医院只需至少 7 个男孩，概率约 17.2%；大医院至少 70 个男孩，概率约 0.0039%。小样本比例更容易大幅波动。

知识点：样本量

答案：C · 不能，还要考虑不确定性和评价来源

小样本高分可能含有较大随机波动。更多真实、独立、有代表性的评价通常更稳定，但数量本身不保证质量或消除刷评偏差。

知识点：估计不确定性

答案：B · 不能，样本可能不代表全市

活跃用户可能更爱运动，回答者又可能有额外的自我选择。样本量很大也不能自动修复抽样方式造成的偏差。

知识点：选择偏差

答案：A · 不能，招募机制没有改变

扩大样本可以减少随机误差，但无法自动覆盖系统性遗漏的人群。更精确地描述一个偏斜样本，不等于更准确地描述总体。

知识点：偏差与方差

答案：C · 不能，不满意而退订的人被遗漏了

调查条件筛掉了已经流失的用户，可能恰好遗漏最不满意的一群人。要描述所有用户，需要合理包含离开的人。

知识点：幸存者偏差

答案：B · 不能，还要考虑哪些中弹飞机没回来

数据只包含活着回来的飞机。发动机中弹的飞机可能更难返航，所以可见弹孔少并不等于危险小；还需结合损伤与生存机制。

知识点：幸存者偏差

答案：A · 朋友多的人

一个人有越多朋友关系，就出现在越多条边的端点上。沿关系抽样会按连接数加权，这就是友谊悖论背后的机制。

知识点：加权抽样

答案：C · 8.2 人

随机顾客有 1/10 概率在短队、9/10 在长队，所以是 0.1×1+0.9×9=8.2。长队包含更多顾客，因此更常被顾客样本看到。

知识点：长度偏差

答案：B · 调整抽样框与联系时段，覆盖被遗漏人群

在家且有固定电话的人不一定代表目标人群。增加同一种偏斜抽样的次数无法解决覆盖不足。

知识点：抽样框

答案：A · 不同，同一个人的重复测量通常相关

重复测量能了解个人波动，却不能凭空增加独立个体的数量。有效信息取决于层级结构与相关性，不只是数据行数。

知识点：相关样本

答案：C · 平均 2 万，中位数 1 万

总工资为 20 万元，除以十人得 2 万元。排序后中间两人都是一万元，所以中位数为一万元。

知识点：均值与中位数

答案：B · 平均相同，但迟到风险可能不同

两者平均都为十分钟，但波动不同。如果必须十五分钟内拿到餐，A 能满足，B 只有一半机会。

知识点：分布与决策

答案：A · 总体均值相同，但学生差异截然不同

两班均值都是 70，但第一班没有离散程度，第二班两极分化。教学安排需要看到分布，而不仅是平均数。

知识点：离散程度

答案：C · 均值从 4 变 122.8，中位数仍为 4

均值使用每个值的数值大小，因此容易受极端值影响。中位数主要由排序位置决定，这次仍是第三个值 4。

知识点：稳健统计

答案：B · 45 公里/小时

总路程 20 公里，总时间 10/30+10/90=4/9 小时，平均速度为 45。慢速路段花了更多时间，不能简单平均两个速度。

知识点：调和平均

答案：A · 10.1%

应把购买人数相加，再除以访问人数总和：102/1010≈10.1%。简单平均 20% 与 10% 会忽略样本量差异。

知识点：加权平均

答案：C · 30 个观测的平均值

独立样本均值的方差是总体方差除以 n。正负随机波动在平均时部分抵消，因此平均值更稳定。

知识点：均值的方差

答案：B · 经过适当标准化，可近似正态

中心极限定理针对样本均值的抽样分布，而不是把原始收入变成正态。近似质量取决于分布形状和样本大小。

知识点：中心极限定理

答案：A · 变为四倍

标准误差为 σ/√n。要把分母变成两倍，需要让 n 变成四倍；提高精度往往越来越昂贵。

知识点：平方根规律

答案：C · 今年的极端好成绩可能包含好运

被选中的优秀成绩同时可能反映实力和正向噪声。下一次噪声不再被挑选为特别正向，成绩就可能更接近真实水平。

知识点：回归均值

答案：B · 长期约 95% 的区间覆盖固定真实均值

在频率学派设定中，真实参数固定，样本与区间随机。95% 描述这个方法在重复抽样中的长期覆盖率。

知识点：置信区间

答案：A · 不保证，实际数量有随机波动

覆盖率是长期频率，不是对每一批实验的配额。100 个区间可能有 92 个、97 个或其他数量覆盖。

知识点：长期覆盖

答案：C · 更宽

更高覆盖率需要容纳更广的可能结果。确定程度与精度之间有取舍，不能同时无代价提高。

知识点：区间宽度

答案：B · 原来的一半

在方差相同的条件下，宽度随 1/√n 缩小。四倍样本使标准误差减半，所以宽度约减半。

知识点：样本与精度

答案：A · 不能，低概率次品可能尚未抽到

样本中的零不等于总体中的零。例如次品率为 1% 时，独立查 100 件完全没发现次品的概率仍约 36.6%。

知识点：零事件

答案：C · 观察命中率为 100%，但真实命中率仍不确定

样本很小，许多不同的真实命中率都可能产生三次全中。需要更多有代表性的投篮来缩小不确定性。

知识点：小样本推断

答案：B · 不能，还需要样本量、设计和误差等信息

观测差异可能受抽样误差和调查偏差影响。样本规模、抽样设计与未回应机制都会影响结论的把握。

知识点：估计误差

答案：A · 不能，应分析两组之差的不确定性

单独的均值区间与均值差的区间不是同一个对象。差值的标准误差还与样本独立性或配对相关有关。

知识点：差值推断

答案：C · 预测个体的区间

预测个体不仅要考虑均值估计的不确定性，还要考虑人群中的个体差异。平均值精确不代表每个人都接近平均。

知识点：预测区间

答案：B · 估计某些统计量的不确定性，但不能修复原样本偏差

Bootstrap 用经验分布近似总体来评估抽样波动，依赖适用条件。它不能找回从未进入样本的人群，也不适合无条件忽略数据相关性。

知识点：自助法

答案：A · 64.2%

全部不误报的概率为 0.95²⁰，约 35.8%。至少一次误报为其补集，约 64.2%。

知识点：多重检验

答案：C · 选择性报告让偶然改善显得更可信

读者看不到尝试次数，容易把从众多结果中挑出的极端值当成事先指定的发现。应区分探索与验证，并透明呈现测试范围。

知识点：选择性报告

答案：B · 不能，应使用适当的序贯方法或预定停止规则

反复查看并按结果停止，改变了检验过程。为固定终点校准的阈值不一定适用于这种规则。

知识点：可选停止

答案：A · 在原假设和模型假设下，观察到至少这么极端数据的概率为 3%

p 值是在假定原假设成立时，对数据极端程度的度量，不是原假设为真的后验概率，也不是效果大小。

知识点：p 值

答案：C · 不能，可能只是证据不足

小样本或高噪声可能掩盖真实差异。若要支持实际等效，需要预先定义等效范围并用相应分析。

知识点：证据不足

答案：B · 还要看实际收益、成本和副作用

统计显著反映数据与假设的关系，实际价值取决于效应大小、规模、成本与风险。大样本可以识别很小的差异。

知识点：实际显著性

答案：A · 检验功效不足，噪声可能掩盖小效果

检验功效是存在特定真实效果时，检验发现它的概率。样本、噪声、阈值与效果大小共同影响功效。

知识点：检验功效

答案：C · 误报减少，但漏掉真实效果的概率可能增加

更严格的拒绝标准降低第一类错误，同时往往降低功效。提高可靠性有时需要增加样本，而不只是降低阈值。

知识点：两类错误

答案：B · 最高值可能带有较大的正向随机误差

按观测结果选冠军，也会选中好运。新数据的噪声未经过这种挑选，因此结果往往向真实水平回归。

知识点：赢家诅咒

答案：A · 检验探索中发现的效果能否在新数据复现

独立验证能减少在同一数据上反复挑选与过拟合造成的乐观偏差。验证仍需适当的设计和样本量。

知识点：独立验证

答案：C · 炎热天气可能同时增加两者

温度是可能的共同原因：热天更多人吃冰淇淋，也更多人游泳。观察到相关本身不足以识别因果。

知识点：混杂因素

答案：B · 不能，火灾严重程度可能同时影响两者

更严重的火灾会召集更多消防员，也更容易造成损失。应考虑因果方向与共同原因。

知识点：共同原因

答案：A · 不能，本来更重视健康的人可能更爱买手环

购买行为不是随机分配的。健康意识、收入与既有运动习惯等，都可能影响购买和健康结果。

知识点：自我选择

答案：C · 不能，基础较弱的学生可能更容易去补课

需要考虑补课前的基础与选择机制。治疗或帮助经常被提供给更需要的人，简单横向比较会混淆原因与结果。

知识点：选择机制

答案：B · A 为 83%，B 为 27%

两种疗法在各病情组内治愈率相同，分别为 90% 和 20%。A 轻症更多，因此加权后的总体率更高，不能据此认定疗法更有效。

知识点：构成差异

答案：A · A 两组都更高，但总体 B 更高

A 的组内率是 90%、30%，B 是 80%、20%；总体 A=36%，B=74%。两边轻重症权重不同，可以使总体方向反转。

知识点：辛普森悖论

答案：C · 同期随机分配用户看到新旧首页并比较

同期随机对照能减少时间趋势与用户构成对比较的影响。还应关注分配单位、干扰、指标和样本量。

知识点：随机对照

答案：B · 无线性相关，但存在确定的非线性关系

X 的对称性使线性协方差为零，但知道 X 就完全知道 Y。相关系数通常只衡量线性关系。

知识点：非线性关系

答案：A · 运动多的人群中高龄者占比更高

年龄同时关联运动分布与医疗开支时，构成差异可以扭转总体关联。需要分层或用适当方法调整混杂。

知识点：分层分析

答案：C · 动机与基础差异可能混入方法效果

随机化使分配机制在概率上不依赖既有特征；自选可能带来系统差异。随机化也不保证有限样本每个特征恰好平衡。

知识点：随机化

答案：B · 这组数据的总体频率匹配预报，但不说明能区分哪天会下雨

校准关注预测概率与发生频率是否匹配，区分能力关注能否给更可能下雨的日子更高概率。这是不同维度。

知识点：概率校准

答案：A · 不能，10% 的未发生本来就被允许

概率预报允许非零概率的其他结果，单次结果不足以完整评价质量。长期可用校准、Brier 分数等方式评价。

知识点：概率与结果

答案：C · 识别不出任何故障，召回率为零

类别极度不平衡时，准确率容易掩盖完全漏掉少数事件的问题。应结合召回率、精确率与错误成本。

知识点：类别不平衡

答案：B · 带伞，损失 2 小于不带的期望损失 3

不带伞的期望损失为 0.3×10=3，带伞固定损失为 2。决策阈值来自错误代价，不必是 50%。

知识点：期望损失

答案：A · 三者相同，但风险不同

做十个利润恒为 100；做十五个利润为 50 或 150；做二十个为 0 或 200。三者期望都是 100 元，波动却不同。

知识点：库存决策

答案：C · 299 件

要求 1−0.99ⁿ≥0.95，即 n≥ln(0.05)/ln(0.99)≈298.07，取整数 299。高把握发现稀有事件需要较多样本。

知识点：发现概率

答案：B · 长期情境中，探索获得的信息可能更有价值

探索有当下成本，也可能改善未来很多次决策。是否值得取决于不确定性、可能收益、探索成本与剩余决策次数。

知识点：探索与利用

答案：A · B 平均更快，但 A 的准时概率更高

B 平均时间为 28 分钟，小于 A 的 30；但 B 准时率为 80%，A 为 100%。优化平均与避免迟到是不同目标。

知识点：尾部风险

答案：C · 不一样，事后挑选更容易选中幸运者

如果每人只是独立猜测，指定一个人全对概率为 1/1024；在很多人中寻找全对者则很常见。筛选过程改变了证据的含义。

知识点：多重比较

答案：B · 预定测试次数和成功标准，事先记录预测并公开全部结果

预先明确规则、先记录预测、避免选择性停止和报告，有助于区分运气与可重复能力。成功阈值还需按容许误报率校准。

知识点：实验设计