从一条数轴，走到一个圆。

我们习惯把数放在一条数轴上：0 在中间，正数向右，负数向左。1、−3、1/2、√2，都能在这条线上找到位置。这些数叫作实数。

但有一道题，数轴上的数都答不出来：什么数的平方等于 −1？ 正数平方是正数，负数平方也是正数，0 的平方还是 0。

于是，我们引入一个新数 i，规定它满足：

把实数与 i 组合起来，就得到形如 a + bi 的数，叫作复数。其中 a、b 都是实数，a 叫实部，b 叫虚部。比如 2 + i 的实部是 2，虚部是 1。

你可以把 2 + i 想成一支箭头：从原点出发，向右走 2，再向上走 1。实数也都在这张地图里，只是它们的虚部为 0。

先从点 1 开始，连续乘以 i，看看会到哪里：

在复平面上，这四步分别是：右 → 上 → 左 → 下 → 右。每乘一次 i，就绕原点逆时针转过 90°，长度保持不变。 连乘两次就是转 180°，所以 i² = −1 也有了画面：朝右的 1 转半圈，变成朝左的 −1。

这不只适用于 1。用普通的乘法展开，再把 i² 换成 −1：

例如，(2 + i)i = −1 + 2i，对应上一张图中的两支箭头。它们的长度都是 √5。

现在自然会冒出一个问题：乘以 i 可以转 90°，那么，有没有一个数，能让我们转过任意角度 θ？ 欧拉公式就会给出这样的数。

画一个半径为 1、圆心在原点的圆，叫作单位圆。从最右端的点 (1, 0) 出发，逆时针转过角度 θ。我们把终点的横坐标叫作 cos θ（余弦），纵坐标叫作 sin θ（正弦）。

所以，这个点对应的复数就是：

对于锐角，这与直角三角形里“邻边 / 斜边”和“对边 / 斜边”的定义一致。用单位圆定义，还能自然地描述大于 90° 的角，以及顺时针旋转的负角。

为什么公式里的 θ 要用弧度？

度数把一圈分成 360 份；弧度用“走过的弧长 ÷ 半径”衡量角度。在单位圆上，走过多长的弧，就转过多少弧度。一整圈长 2π，所以一圈是 2π 弧度，半圈是 π 弧度。

回到页首的单位圆，拖动角度：实部和虚部一直在变，但 cos² θ + sin² θ = 1，所以点到原点的距离始终为 1。负的坐标表示向左或向下。

先暂时离开圆。设想某个量从 1 开始，一个单位时间的名义增长率为 100%。如果到最后才增长一次，结果是 2；如果分成两次、每次增长当时数量的 50%，结果是 1.5² = 2.25。

把同样的名义增长率分成 n 次，每次按当时数量增长 1/n，最终得到 (1 + 1/n)ⁿ。分得越细，结果逐渐趋近一个确定的数：

e 叫作自然常数。函数 e^t 描述一种特殊的连续增长：在每个时刻，它的变化率恰好等于当前的数量。学过导数的话，这句话就是 (e^t)′ = e^t。

把变化方向转一下，会发生什么？

实数增长可以想成沿着当前箭头的方向延长。如果把变化方向乘以 i，就相当于让每一瞬间的变化都与当前箭头垂直。这样的运动会转弯。

这给出一个猜想：当指数里出现 i，增长也许会变成旋转。 但画面还不是证明。我们首先得说明，“e 的虚数次方”到底是什么意思。

幂级数是由不同次幂组成的无穷和。下面的推导用到指数、正弦与余弦的标准幂级数展开；这些展开本身是微积分中的结果。我们以它们为起点，后面的步骤只需要代入、乘法和分类。

1. 给指数一个可以容纳复数的定义

   对于任意复数 z，可以用下面这个收敛的无穷和定义 e^z。当 z 是实数时，它与熟悉的自然指数函数一致。

   e^z = 1 + z + z²/2! + z³/3! + ⋯

   感叹号表示阶乘：2! = 2 × 1，3! = 3 × 2 × 1。省略号表示按同一规律继续相加，一般项是 zⁿ/n!（0! = 1）。这里的等号指无穷和的极限，截取有限项只是近似。[1]

2. 把 z 换成 iθ

   还记得每四步一循环吗？i² = −1，i³ = −i，i⁴ = 1。它们让展开式中的正负号交替出现。

   e^iθ = 1 + iθ − θ²/2! − iθ³/3! + θ⁴/4! + iθ⁵/5! − ⋯

3. 把实部和虚部分开

   偶数次幂落在实部，奇数次幂落在虚部。这些级数绝对收敛，因此这样的分组是合法的。

   实部：1 − θ²/2! + θ⁴/4! − ⋯虚部：θ − θ³/3! + θ⁵/5! − ⋯

4. 认出两位老朋友

   当 θ 用弧度表示时，上面两个无穷和恰好分别是 cos θ 与 sin θ 的幂级数。于是，我们得到欧拉公式。[2]

   e^iθ = cos θ + i sin θ

指数函数里本来就藏着这两组交替的项。i 的幂把它们分开，一组成为横坐标，一组成为纵坐标。 这就是代数与圆相遇的地方。

说一个公式“美”，当然带有审美判断。但欧拉公式的吸引力，有可以具体指出的理由。

看起来分开的概念，原来相通

e 来自连续增长，i 来自对数系的扩展，正弦与余弦来自圆的几何。欧拉公式告诉我们：当自然指数沿虚数方向变化时，它恰好沿单位圆旋转。 一边是指数，一边是坐标，描述的却是同一个对象。

一个等式，压缩了很多规律

指数有一条熟悉的规则：相乘时，指数相加。现在把它放到圆上看：

所以，乘以 e^iθ 就实现了前面寻找的“转过任意角度 θ”。任意非零复数都能写成 r e^iφ：r 是长度，φ 是方向；再乘以 e^iθ，长度不变，方向成为 φ + θ。

进一步，把等式两边都用欧拉公式展开，再比较实部和虚部，就得到三角函数的和角公式：

简洁的背后，是可解释的结构

五个常数同框很醒目，但更耐看的地方是：每个符号都有自己的角色，每一步都有几何意义。不是把几个神奇的数拼在一起，而是顺着同一套规则走下去，它们自然相遇。

增长可以转弯，
旋转可以写成指数，
一个圆，连接了它们。